# document.write (document.title)

A sedenion is a 16-tuple with rules for addition and multiplication.  The sedenions form a 16-dimensional algebra over the reals obtained by applying the Cayley-Dickson construction to the octonions.

### Properties

Communtative: No.

Associative: No.

Alternative: No. (Alternative means (xx)y=x(xy) and y(xx)=(yx)x for all x and y.)

Power-associative: Yes. (Power associative means xn is unambiguous; it doesn't matter in which order the multiplications are carried out.)

The sedenions have a multiplicative identity element 1 and multiplicative inverses, but they are not a division algebra. This is because they have zero divisors, which are nonzero numbers z1,z2 such that z1z2=0.

Every sedenion is a real linear combination of the unit sedenions 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14 and e15, which form a basis of the vector space of sedenions.

### Power associative

An algebra is power associative if when an element x is multiplied by itself several times, it doesn't matter in which order the multiplications are carried out.  For example, x(x(xx)) = (x(xx))x = (xx)(xx).  Power associativity is stronger than simply asserting x(xx)=(xx)x, because this may be true even when x((xx)x) is not equal to (xx)(xx).  If an algebra is power associative, then xn has an unambiguous meaning.

### Zerodivisor

Unlike quaternions, sedenions have zerodivisors, which are nonzero numbers z1,z2 such that z1z2=0. http://www.geocities.com/zerodivisor/s0divisor.html gives an example . . . . . .

### Multiplication table

 × 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e9 -e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e10 e11 -e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 -e13 e12 e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 -e8 -e9 -e10 -e11 e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e13 -e12 e15 -e14 e9 -e8 e11 -e10 e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 -e8 e9 e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 -e8 e8 e8 -e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e9 e9 e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 -e1 -1 -e3 e2 -e5 e4 e7 -e6 e10 e10 e11 e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 -e2 e3 -1 -e1 -e6 -e7 e4 e5 e11 e11 -e10 e9 e8 -e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2 e1 -1 -e7 e6 -e5 e4 e12 e12 e13 e14 e15 e8 -e9 -e10 -e11 -e4 e5 e6 e7 -1 -e1 -e2 -e3 e13 e13 -e12 e15 -e14 e9 e8 e11 -e10 -e5 -e4 e7 -e6 e1 -1 e3 -e2 e14 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 e8 e9 -e6 -e7 -e4 e5 e2 -e3 -1 e1 e15 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 e8 -e7 e6 -e5 -e4 e3 e2 -e1 -1

### Internet references

Wikipedia: Sedenion

Wikipedia: Cayley-Dickson construction explains the method of making 2n-tuples from n-tuples (e.g. making complex numbers from reals, quaternions from complex, etc.) using the multiplication definition (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Fact Archive: Sedenion provides the properties and multiplication table shown in this page.

http://www.geocities.com/zerodivisor/srepresentation.html shows, using the Cayley-Dickson process, the multiplication of two sedenions, S and T, in terms of four octonions.

### Related pages in this website

Complex, Quaternion, Octonion, and Sedenion numbers are n-tuples of real numbers, where n=2,4,8,16, respectively.

The webmaster and author of this Math Help site is Graeme McRae.