Navigation 
 Home 
 Search 
 Site map 

 Contact Graeme 
 Home 
 Email 
 Twitter

 Skip Navigation LinksMath Help > Sets, Set theory, Number systems > Number systems > Sedenion

A sedenion is a 16-tuple with rules for addition and multiplication.  The sedenions form a 16-dimensional algebra over the reals obtained by applying the Cayley-Dickson construction to the octonions.

Properties

Communtative: No.

Associative: No.

Alternative: No. (Alternative means (xx)y=x(xy) and y(xx)=(yx)x for all x and y.)

Power-associative: Yes. (Power associative means xn is unambiguous; it doesn't matter in which order the multiplications are carried out.)

The sedenions have a multiplicative identity element 1 and multiplicative inverses, but they are not a division algebra. This is because they have zero divisors, which are nonzero numbers z1,z2 such that z1z2=0.

Every sedenion is a real linear combination of the unit sedenions 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14 and e15, which form a basis of the vector space of sedenions.

Power associative

An algebra is power associative if when an element x is multiplied by itself several times, it doesn't matter in which order the multiplications are carried out.  For example, x(x(xx)) = (x(xx))x = (xx)(xx).  Power associativity is stronger than simply asserting x(xx)=(xx)x, because this may be true even when x((xx)x) is not equal to (xx)(xx).  If an algebra is power associative, then xn has an unambiguous meaning.

Zerodivisor

Unlike quaternions, sedenions have zerodivisors, which are nonzero numbers z1,z2 such that z1z2=0. http://www.geocities.com/zerodivisor/s0divisor.html gives an example . . . . . .

Multiplication table

× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e9 -e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14
e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e10 e11 -e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13
e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 -e13 e12
e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 -e8 -e9 -e10 -e11
e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e13 -e12 e15 -e14 e9 -e8 e11 -e10
e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 -e8 e9
e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 -e8
e8 e8 -e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e9 e9 e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 -e1 -1 -e3 e2 -e5 e4 e7 -e6
e10 e10 e11 e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 -e2 e3 -1 -e1 -e6 -e7 e4 e5
e11 e11 -e10 e9 e8 -e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2 e1 -1 -e7 e6 -e5 e4
e12 e12 e13 e14 e15 e8 -e9 -e10 -e11 -e4 e5 e6 e7 -1 -e1 -e2 -e3
e13 e13 -e12 e15 -e14 e9 e8 e11 -e10 -e5 -e4 e7 -e6 e1 -1 e3 -e2
e14 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 e8 e9 -e6 -e7 -e4 e5 e2 -e3 -1 e1
e15 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 e8 -e7 e6 -e5 -e4 e3 e2 -e1 -1

 

Internet references

Wikipedia: Sedenion

Wikipedia: Cayley-Dickson construction explains the method of making 2n-tuples from n-tuples (e.g. making complex numbers from reals, quaternions from complex, etc.) using the multiplication definition (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Fact Archive: Sedenion provides the properties and multiplication table shown in this page.

http://www.geocities.com/zerodivisor/srepresentation.html shows, using the Cayley-Dickson process, the multiplication of two sedenions, S and T, in terms of four octonions.

Related pages in this website

Complex, Quaternion, Octonion, and Sedenion numbers are n-tuples of real numbers, where n=2,4,8,16, respectively.


The webmaster and author of this Math Help site is Graeme McRae.